Математический анализ Примеры

$y = x^{2^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{2^{x}}$ в виде $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{2^{x}})$ , вынося $2^{x}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x} \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Этап 3.5

Объединим $2^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Этап 3.7.2

Объединим $e^{2^{x} \ln (x)}$ и $\frac{2^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Этап 3.7.3

Изменим порядок членов.

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$