Математический анализ Примеры

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Этап 1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Этап 1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (x - \frac{π}{3})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Этап 1.2.6

Поскольку $- \frac{π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

Этап 1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

Этап 1.2.8

Умножим $3$ на $1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

Этап 1.2.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

Этап 1.2.10

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

Этап 1.3.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{π}{3}$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 π$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

Этап 1.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

Этап 1.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

Этап 1.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

Этап 1.3.2.3.2.4

Разделим $- π$ на $1$ .

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

Этап 1.3.2.4

Добавим $0$ и $9 \sin (3 x - π)$ .

$9 \sin (3 x - π)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \sin (3 x - π)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $3 x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

Этап 2.3.6.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$9 \sin (3 x - π) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $9 \sin (3 x - π) = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $9 \sin (3 x - π) = 0$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (3 x - π)$ на $1$ .

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$\sin (3 x - π) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x - π = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$3 x - π = 0$

Этап 7

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$3 x = π$

Этап 8

Разделим каждый член $3 x = π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 x = π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$3 x - π = π - 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$3 x - π = π$

Этап 10.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$3 x = π + π$

Этап 10.2.2

Добавим $π$ и $π$ .

$3 x = 2 π$

Этап 10.3

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 11

Решение уравнения $3 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель.

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

Этап 13.1.2

Перепишем это выражение.

$27 \cos (π - π)$

Этап 13.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$27 \cos (0)$

Этап 13.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$27 \cdot 1$

Этап 13.4

Умножим $27$ на $1$ .

$27$

Этап 14

$x = \frac{π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

Этап 15.2.1.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Этап 15.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Этап 15.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

Этап 15.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

Этап 15.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Сократим общий множитель.

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

Этап 17.1.2

Перепишем это выражение.

$27 \cos (2 π - π)$

Этап 17.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$27 \cos (π)$

Этап 17.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$27 (- \cos (0))$

Этап 17.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$27 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.5

Умножим $27 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$27 \cdot - 1$

Этап 17.5.2

Умножим $27$ на $- 1$ .

$- 27$

Этап 18

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

Этап 19.2.1.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 19.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 19.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

Этап 19.2.1.4

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

Этап 19.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Этап 19.2.1.6.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

Этап 19.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ .

$(\frac{π}{3}, - 2)$ — локальный минимум

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ — локальный максимум

Этап 21