Математический анализ Примеры

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 7 - 3 x^{2}$ . Тогда $d u = - 6 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 7 - 3 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $7 - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 - 6 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $6 x$ из $0$ .

$- 6 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Этап 3.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 7.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 7.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ в виде $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $30$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $30$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.4.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9.2.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$