Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{1} [{(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2}] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$π \int_{0}^{1} {(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4 \cdot 2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Этап 2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - {(x^{7})}^{2} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{7 \cdot 2} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{14} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$π (\int_{0}^{1} x^{8} d x + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$π (\frac{1}{9} x^{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{9}$ и $x^{9}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{14} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{14}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{1}{15} x^{15}]_{0}^{1}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{15}$ и $x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{9}}{9}$ в $1$ и в $0$ .

$π ((\frac{1^{9}}{9}) - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{15}}{15}$ в $1$ и в $0$ .

$π (\frac{1^{9}}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель $9$ из $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 (0)}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{1}{9} - 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{1}{9} + 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{1}{9}$ и $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Этап 8.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{15}))$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $15$ из $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 (0)}{15}))$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - 0))$

Этап 8.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} + 0))$

Этап 8.2.3.10

Добавим $\frac{1}{15}$ и $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{1}{15})$

Этап 8.2.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15})$

Этап 8.2.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $45$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{5}{9 \cdot 5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.2

Умножим $9$ на $5$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.3

Умножим $\frac{1}{15}$ на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{15 \cdot 3})$

Этап 8.2.3.13.4

Умножим $15$ на $3$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{45})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$π \frac{5 - 3}{45}$

Этап 8.2.3.15

Вычтем $3$ из $5$ .

$π \frac{2}{45}$

Этап 8.2.3.16

Объединим $π$ и $\frac{2}{45}$ .

$\frac{π \cdot 2}{45}$

Этап 8.2.3.17

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{2 π}{45}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 π}{45}$

Десятичная форма:

$0.13962634 \dots$

Этап 10