Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Этап 1

Разделим $x$ на $x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 10$ .

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Этап 5

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Этап 6

Умножим $10$ на $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Этап 7

Пусть $u = x + 10$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x + 10$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 7.1.4

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Этап 7.3

Добавим $0$ и $10$ .

$u_{lower} = 10$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Этап 7.5

Добавим $5$ и $10$ .

$u_{upper} = 15$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $x$ в $5$ и в $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $15$ и в $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Этап 9.3

Добавим $5$ и $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $15$ равно $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Десятичная форма:

$0.94534891 \dots$

Этап 13