Математический анализ Примеры

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

Этап 3.3.8

Умножим ${(2 x + 1)}^{4}$ на $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x + 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем $8$ влево от $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

Этап 3.4.2.2

Добавим $8 x$ и $2 x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$