Математический анализ Примеры

$1 + \sqrt{2 x}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $1 + \sqrt{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.4

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.12

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.13

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$0 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$0 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Добавим $0$ и $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$