Математический анализ Примеры

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x + 5)$ .

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 5$ .

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ .

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

Этап 4.2

Изменим порядок $2 \cos (x + 5)$ и $\sin (x + 5)$ .

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

Этап 4.3

Изменим порядок $\sin (x + 5)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

Этап 4.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 (x + 5))$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $5$ .

$\sin (2 x + 10)$