Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.4

Найдем значение $x$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.5

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.6

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.8.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$4 \frac{1 - 16}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.8.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$4 (\frac{- 15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (- \frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.11

Объединим $- 4$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.12

Умножим $- 4$ на $15$ .

$\frac{- 60}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.13

Сократим общий множитель $- 60$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.13.1

Вынесем множитель $4$ из $- 60$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4 (1)} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 15}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 15}{1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.13.2.4

Разделим $- 15$ на $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.14

Единица в любой степени равна единице.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.15

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.18

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 15 + 5 \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.20

Добавим $1$ и $8$ .

$- 15 + 5 (\frac{9}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.21

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.21.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.21.2.2

Сократим общий множитель.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.21.2.3

Перепишем это выражение.

$- 15 + 5 (\frac{3}{1}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.21.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 15 + 5 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.22

Умножим $5$ на $3$ .

$- 15 + 15 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.23

Добавим $- 15$ и $15$ .

$0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.24

Единица в любой степени равна единице.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.25

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.26

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.26.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.26.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2$

Этап 13.5.26.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2$

Этап 13.5.26.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2$

Этап 13.5.26.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2$

Этап 13.5.27

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2$

Этап 13.5.28

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.29

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.31.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$0 - \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.31.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 - \frac{- 3}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.32

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{3}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.33

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2$

Этап 13.5.34

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$0 + \frac{3}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.35

Добавим $0$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 1 + 2$

Этап 13.5.36

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{2} + 3$

Этап 13.5.37

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 13.5.38

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 13.5.39

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 13.5.40

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.40.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 + 6}{2}$

Этап 13.5.40.2

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 15