Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 3} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вычтем $3$ из $28$ .

$\frac{0}{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{2 x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.13

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.15

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.15.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.15.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.15.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.15.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.3.15.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{14 x - 3} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14 x - 3}$ в виде ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 14 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $14 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.4

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.12

Умножим $14$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.13

Добавим $14$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.15

Объединим $\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.16

Перенесем $14$ влево от ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14 \cdot {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.17

Перенесем ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.18

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.19.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7.19.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Этап 1.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Этап 1.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Этап 1.5.3

Перепишем ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{14 x - 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ на $\frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x} \cdot 7}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{7}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Этап 2.5

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

Этап 2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.3

Вычтем $3$ из $28$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{7 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{5}{14}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{14}$

Десятичная форма:

$0.3\overline{571428}$