Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Найдем значение $\arcsin (u)$ в $\frac{1}{2}$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Этап 6.1.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

Этап 6.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

Этап 6.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{π}{18}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{18}$

Десятичная форма:

$0.17453292 \dots$

Этап 8