Математический анализ Примеры

$2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$6 x^{2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y'$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y y' + 5 y' = - 6 x^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y' + 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y'$ .

$y' (4 y) + 5 y' = - 6 x^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $5 y'$ .

$y' (4 y) + y' \cdot 5 = - 6 x^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ на $4 y + 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ на $4 y + 5$ .

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$