Математический анализ Примеры

$y = 5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 5 x)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 5 x)}^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 5 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} + 5 x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} + 5 x$ .

$5 (3 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $3$ на $5$ .

$15 ({(5 x^{2} + 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $5$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5 \cdot 1)$

Этап 3.3.8

Умножим $5$ на $1$ .

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$