Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $9$ и в $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.5

Сократим общий множитель $80$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.5.2.4

Разделим $40$ на $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.1.3.6

Умножим $2$ на $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Этап 7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Этап 7.3.3

Разделим $9$ на $1$ .

$80 + \ln (9)$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$80 + \ln (9)$

Десятичная форма:

$82.19722457 \dots$

Этап 9