Математический анализ Примеры

$\int 5 \cdot 5^{5 x} d x$

Этап 1

Умножим $5$ на $5^{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$\int 5^{1} \cdot 5^{5 x} d x$

Этап 1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5^{1 + 5 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$0 + 5$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $5$ .

$5$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Этап 3

Объединим $5^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $5^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ в виде $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{1 + 5 x} + C$