Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2}) d z$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{2} 8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2} d z$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 8 z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{2} z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 4

По правилу степени интеграл $z$ по $z$ имеет вид $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $z^{2}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 7

По правилу степени интеграл $z^{3}$ по $z$ имеет вид $\frac{1}{4} z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} z^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Этап 9

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Этап 10

По правилу степени интеграл $z^{2}$ по $z$ имеет вид $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{z^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$8 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{z^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{z^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$8 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 (2 - \frac{0}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$8 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (2 - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 (2 - 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 (2 + 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.6

Добавим $2$ и $0$ .

$8 \cdot 2 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.7

Умножим $8$ на $2$ .

$16 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.9.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$16 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.11.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$16 + 4 (4 - \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$16 + 4 (4 - 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$16 + 4 (4 + 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.13

Добавим $4$ и $0$ .

$16 + 4 \cdot 4 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.14

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 16 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.15

Добавим $16$ и $16$ .

$32 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.16

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 11.2.4.18

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 11.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 11.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 11.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 11.2.4.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - 0)$

Этап 11.2.4.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} + 0)$

Этап 11.2.4.20

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3})$

Этап 11.2.4.21

Объединим $- 6$ и $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 6 \cdot 8}{3}$

Этап 11.2.4.22

Умножим $- 6$ на $8$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Этап 11.2.4.23

Сократим общий множитель $- 48$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.23.1

Вынесем множитель $3$ из $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Этап 11.2.4.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.23.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Этап 11.2.4.23.2.2

Сократим общий множитель.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.23.2.3

Перепишем это выражение.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Этап 11.2.4.23.2.4

Разделим $- 16$ на $1$ .

$32 - 16$

Этап 11.2.4.24

Вычтем $16$ из $32$ .

$16$

Этап 12