Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Этап 6.3

Перенесем $3$ влево от $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Этап 8

Умножим $3$ на $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Этап 9

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 11

Объединим $\sin (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Этап 14

Упростим.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$