Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $2 \sqrt[3]{8}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 + h}$ в виде ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ и $g (h) = 8 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.4

По правилу суммы производная $8 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.5

Поскольку $8$ является константой относительно $h$ , производная $8$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.12

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.13

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.14

Умножим $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.15

Перенесем ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $h$ , производная $- 4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Добавим $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Этап 4.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{2}{12}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$