Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sqrt{1 - \sin (x)}}{x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - \sin (x)}$ в виде ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.2.2

Перенесем ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.3

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 10

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \cos (x)) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 x)}{x^{4}}$

Этап 11.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x}{x^{4}}$

Этап 12

Объединим $- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{4}}$

Этап 12.2

Чтобы записать $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 12.3

Объединим $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 13

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 14

Умножим ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x ({(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 14.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{2}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 14.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 15

Упростим $- 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Этап 16

Перепишем $\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$ в виде произведения.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4}}$

Этап 17

Умножим $\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Этап 18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Этап 18.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x + 4 x \sin (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Этап 18.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x \sin (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x))$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 18.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 18.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.7

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.9

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.11

Перепишем $- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ в виде $- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$