Математический анализ Примеры

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Этап 1

Запишем $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \cos^{4} (x) d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 5.2

Перепишем ${\cos (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} d x + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2

Развернем ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.7

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.8

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.9

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.10

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.11

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.12

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.13

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.14

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.16

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.17

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.18

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.19

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.20

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.21

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.22

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.23

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.24

Умножим $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.25

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.26

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.27

Умножим $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.28

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.29

Объединим $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.30

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.31

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.32

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.33

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.34

Добавим $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ и $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.35

Объединим $2$ и $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.36

Изменим порядок $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.2.37

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 12

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 14.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 15

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 17

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 17.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 17.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 18

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 19

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 20

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 21

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 22

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 23

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 24

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \sin^{4} (x) d x$

Этап 25

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \sin^{4} (x) d x$

Этап 26

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Этап 26.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 27

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Этап 28

Пусть $u_{3} = 2 x$ . Тогда $d u_{3} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Пусть $u_{3} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 28.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 28.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 28.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 28.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 29

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{3})}{2})}^{2} d u_{3})$

Этап 30

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1

Перепишем $\frac{1 - \cos (u_{3})}{2}$ в виде произведения.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2} d u_{3}$

Этап 30.2

Развернем ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 30.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.7

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.8

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.9

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.10

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.11

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.12

Перенесем круглые скобки.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.13

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.14

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.15

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.16

Перенесем $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.17

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.18

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{3}))) d u_{3}$

Этап 30.2.19

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3})) d u_{3}$

Этап 30.2.20

Перенесем круглые скобки.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.21

Перенесем $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.22

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.23

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.24

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.25

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.26

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.27

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.28

Объединим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.29

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{3}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.30

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.31

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.32

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.33

Объединим $- \frac{\cos (u_{3})}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.34

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.35

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.36

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.37

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.38

Умножим $\frac{\cos (u_{3})}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{2 \cdot 2} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.39

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3})}{4} \cos (u_{3}) d u_{3}$

Этап 30.2.40

Объединим $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ и $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.41

Возведем $\cos (u_{3})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.42

Возведем $\cos (u_{3})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{3}) \cos^{1} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{{\cos (u_{3})}^{1 + 1}}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.44

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} - \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.45

Вычтем $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ из $- \frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.46

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.47

Изменим порядок $\frac{- 2 \cos (u_{3})}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.2.48

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{3})}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{3})}{4} d u_{3}$

Этап 30.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (u_{3})$ .

Этап 30.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

Этап 30.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 30.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

Этап 30.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

Этап 31

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{3})}{4} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 32

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 33

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{3})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{3})}{2} d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 34

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 35

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 35.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 36

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{3} + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 37

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (2 u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 38

Пусть $u_{4} = 2 u_{3}$ . Тогда $d u_{4} = 2 d u_{3}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{4} = d u_{3}$ . Перепишем, используя $u_{4}$ и $d$ $u_{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 38.1

Пусть $u_{4} = 2 u_{3}$ . Найдем $\frac{d u_{4}}{d u_{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 38.1.1

Дифференцируем $2 u_{3}$ .

$\frac{d}{d u_{3}} [2 u_{3}]$

Этап 38.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{3}$ , производная $2 u_{3}$ по $u_{3}$ равна $2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{3}} [u_{3}]$

Этап 38.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 38.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 38.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{4}$ и $d u_{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \cos (u_{4}) \frac{1}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 39

Объединим $\cos (u_{4})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \int \frac{\cos (u_{4})}{2} d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 40

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{4}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{4}) d u_{4}) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 41

Интеграл $\cos (u_{4})$ по $u_{4}$ имеет вид $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{3} + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 42

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{1}{4} u_{3} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 43

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 44

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Этап 45

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Этап 46

Интеграл $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ имеет вид $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{4}) + C)) + \frac{u_{3}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Этап 47

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.1

Упростим.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.2.1

Чтобы записать $\frac{u_{1}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.2.2.1

Умножим $\frac{u_{1}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.4

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.5

Добавим $u_{1}$ и $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{4})) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Этап 47.2.7

Объединим $\sin (u_{3})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) + \frac{u_{3}}{4} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.8

Чтобы записать $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.9

Объединим $\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

Этап 47.2.11

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.12

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.2.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 47.2.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 47.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 47.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 48

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 48.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 48.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{4} + \frac{\frac{1}{4} (u_{3} + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (u_{3})}{2}) + C$

Этап 48.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (u_{4})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 48.4

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $2 u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 48.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 u_{3})}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 48.6

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.3.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.3.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 x}{4}$ .

$\frac{3 x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (4 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 (x)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.4

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.4.3.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.4.3.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 49.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.6

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.7

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot 2 + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.9

Добавим $x \cdot 2$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.9.1

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot x + x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.9.2

Добавим $2 \cdot x$ и $x$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 \cdot x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2} + C$

Этап 49.10

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.10.1

Умножим $\frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 49.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} - \sin (2 x)}{4} + C$

Этап 50

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$

Этап 51

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{4} (\frac{3}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) - \sin (2 x)) + C$