Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Этап 1

Составим полный квадрат для $2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{8}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Этап 2

Подставим $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ вместо $2 x^{2} + x$ в уравнение $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Этап 3

Перенесем $- \frac{1}{8}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{8}$ к обеим частям.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Этап 4

Составим полный квадрат для $2 y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{8}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Этап 5

Подставим $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ вместо $2 y^{2} + y$ в уравнение $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Этап 6

Перенесем $- \frac{1}{8}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{8}$ к обеим частям.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 7

Составим полный квадрат для $2 z^{2} + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 7.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 7.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Этап 7.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Этап 7.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{8}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Этап 7.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Этап 8

Подставим $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ вместо $2 z^{2} + z$ в уравнение $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 9

Перенесем $- \frac{1}{8}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{8}$ к обеим частям.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 10

Упростим $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Этап 10.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Этап 10.3

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Этап 10.4

Объединим $9$ и $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Этап 10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Этап 10.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $9$ на $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Этап 10.6.2

Добавим $72$ и $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Этап 11