Математический анализ Примеры

$t^{2} \ln^{4} (t)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln^{4} (t)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = \ln (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (t)$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (t)$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{t}$ и $4$ .

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{4}{t}$ и $\ln^{3} (t)$ .

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.2

Объединим $t^{2}$ и $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ .

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3.2.5

Разделим $t (4 \ln^{3} (t))$ на $1$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$