Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $2 x^{2} + 2 x + 11$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 4)$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (2 x + 3)$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

Этап 1.1.6.5

Развернем $(B x + C) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

Этап 1.1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

Этап 1.1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6.3

Перенесем $3$ влево от $B x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

Этап 1.1.6.6.5

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Этап 1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $4 A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + 2 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$11 = 4 A + 3 C$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $2 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 2$ .

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $11 = 4 A + 3 C$ на $2 - 2 B$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.3

Изменим порядок $2$ и $- 2 B$ .

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $A = - 2 B + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 B + 2 = A$ .

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.3

Разделим каждый член $- 2 B = A - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Разделим каждый член $- 2 B = A - 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.4.3.3.1.2

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{A}{2} + 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Заменим все вхождения $B$ в $11 = 8 - 8 B + 3 C$ на $- \frac{A}{2} + 1$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Упростим $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{A}{2}$ в числитель.

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.2

Объединим противоположные члены в $8 + 4 A - 8 + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.2.1.2.2

Добавим $4 A$ и $0$ .

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Этап 1.3.5.3

Заменим все вхождения $B$ в $2 = 3 B + 2 C$ на $- \frac{A}{2} + 1$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.5.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.5.4.1.2

Умножим $3 (- \frac{A}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.5.4.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{A}{2}$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.5.4.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.5.4.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6

Решим относительно $C$ в $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ .

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Добавим $\frac{3 A}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.2.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3

Разделим каждый член $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.1

Разделим каждый член $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.3.1.2

Умножим $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{3 A}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.6.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Заменим все вхождения $C$ в $11 = 4 A + 3 C$ на $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Упростим $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.1.2

Умножим $3 \frac{3 A}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3 A}{4}$ .

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.1.3

Умножим $3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.2

Чтобы записать $4 A$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.3.1

Объединим $4 A$ и $\frac{4}{4}$ .

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $A$ из $4 A \cdot 4 + 9 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $A$ из $4 A \cdot 4$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4.1.1.2

Вынесем множитель $A$ из $9 A$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4.1.1.3

Вынесем множитель $A$ из $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4.1.3

Добавим $16$ и $9$ .

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.7.2.1.4.2

Перенесем $25$ влево от $A$ .

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8

Решим относительно $A$ в $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ .

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Добавим $\frac{3}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2.2

Чтобы записать $11$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2.3

Объединим $11$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.5.1

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.2.5.2

Добавим $22$ и $3$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1.1

Упростим $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.1.1.2

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25 A$ .

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.2.1

Упростим $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.8.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Заменим все вхождения $A$ в $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ на $2$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1

Упростим $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1.4.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.2.1.4.2

Разделим $2$ на $2$ .

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Этап 1.3.9.3

Заменим все вхождения $A$ в $B = - \frac{A}{2} + 1$ на $2$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Этап 1.3.9.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.1

Упростим $- \frac{2}{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Этап 1.3.9.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Этап 1.3.9.4.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Этап 1.3.9.4.1.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

Этап 1.3.10

Перечислим все решения.

$B = 0, C = 1, A = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x + 3$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 7.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$