Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Этап 1.2

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.10.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.11

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

Этап 3.12

Умножим $\frac{1}{\ln (x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

Этап 3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

Этап 5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

Этап 6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ и $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Этап 7.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Этап 7.1.2.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Этап 7.1.2.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Этап 7.1.2.3

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Этап 7.1.3

Поскольку функция $\sqrt{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Этап 7.1.3.2

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.5.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Этап 7.3.8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 7.3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 7.3.10

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Этап 7.3.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 7.3.12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 7.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 7.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Этап 7.3.14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Этап 7.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 7.3.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 7.3.17

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 7.3.18

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 7.3.19

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 7.3.20

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Этап 8.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Этап 9

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Этап 10

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\infty \cdot \infty$

Этап 11.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\infty$