Математический анализ Примеры

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \arctan (y)$ и $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Этап 3.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x^{2}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Этап 3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $8 x x'$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Этап 3.7.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Этап 3.7.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Этап 3.7.4

Объединим $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ и $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.7.5

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Изменим порядок членов.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Этап 3.8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Перепишем ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ в виде $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Этап 3.8.2.2

Развернем $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Этап 3.8.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Этап 3.8.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.5

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Этап 3.8.2.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Этап 3.8.2.3.2

Вычтем $12 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Этап 3.8.2.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Этап 3.8.2.5

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Этап 3.8.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Этап 3.8.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Этап 3.8.2.5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Этап 3.8.2.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Этап 3.8.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Этап 3.8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Этап 3.8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ на $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Этап 5.4

Разделим каждый член $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ на $4 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ на $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.2.2.5

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.5

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$