Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{3} | \frac{1}{2} x | d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\int_{- 4}^{3} | \frac{x}{2} | d x$

Этап 1.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\int_{- 4}^{3} \frac{| x |}{2} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 4}^{3} | x | d x$

Этап 3

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\frac{1}{2} (\int_{- 4}^{0} - x d x + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 4$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{16}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{8}{1}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - 1 \cdot 8) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - 8) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- - 8 + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{1}{2} (8 + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.12

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (8 + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.13

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.14

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot 2 + 9}{2}$

Этап 8.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 + 9}{2}$

Этап 8.2.3.16.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2}$

Этап 8.2.3.17

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.18

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{25}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{25}{4}$

Десятичная форма:

$6.25$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{1}{4}$

Этап 10