Математический анализ Примеры

$\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{4}{6}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 (2 x)$

Этап 2.1.4.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.2.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \cdot 1$

Этап 2.2.4.3

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 14$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 14 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 14 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 7) (x + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 7) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $7$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot {(7)}^{4} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot 2401 - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $2401$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 \cdot 343 - 7 {(7)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 2$ на $343$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 {(7)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 \cdot 49$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- 7$ на $49$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 343$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $- 686$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} - 343$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{- 686}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} \cdot \frac{6}{6} - 343$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{- 686}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} - 343$

Этап 4.1.2.2.4

Запишем $- 343$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1}$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{- 343}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $\frac{- 343}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343 \cdot 6}{6}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (7) = \frac{2401 - 686 \cdot 6 - 343 \cdot 6}{6}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $- 686$ на $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 343 \cdot 6}{6}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 343$ на $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 2058}{6}$

Этап 4.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $4116$ из $2401$ .

$f (7) = \frac{- 1715 - 2058}{6}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $2058$ из $- 1715$ .

$f (7) = \frac{- 3773}{6}$

Этап 4.1.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (7) = - \frac{3773}{6}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3773}{6}$ .

$- \frac{3773}{6}$

Этап 4.2

Подставляя $7$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ , найдем точку $(7, - \frac{3773}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(7, - \frac{3773}{6})$

Этап 4.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $- 7$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} - 7$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{6} - 7$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} - 7$

Этап 4.3.2.2.4

Запишем $- 7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1}$

Этап 4.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 4.3.2.2.6

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7 \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{1 + 2 \cdot 6 - 7 \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $2$ на $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 7 \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.2.4.2

Умножим $- 7$ на $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 42}{6}$

Этап 4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Добавим $1$ и $12$ .

$f (- 1) = \frac{13 - 42}{6}$

Этап 4.3.2.5.2

Вычтем $42$ из $13$ .

$f (- 1) = \frac{- 29}{6}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{29}{6}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{29}{6}$ .

$- \frac{29}{6}$

Этап 4.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ , найдем точку $(- 1, - \frac{29}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, - \frac{29}{6})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(7, - \frac{3773}{6}), (- 1, - \frac{29}{6})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 2 {(- 1.1)}^{2} - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = 2 \cdot 1.21 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 12$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 + 13.2 - 14$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $2.42$ и $13.2$ .

$f'' (- 1.1) = 15.62 - 14$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $14$ из $15.62$ .

$f'' (- 1.1) = 1.62$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.62$ .

$1.62$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $1.62$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 7)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = 2 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 - 14$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 14$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (3) = 18 - 12 \cdot 3 - 14$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 12$ на $3$ .

$f'' (3) = 18 - 36 - 14$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $36$ из $18$ .

$f'' (3) = - 18 - 14$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $14$ из $- 18$ .

$f'' (3) = - 32$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 32$ .

$- 32$

Этап 7.3

При $3$ вторая производная имеет вид $- 32$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1, 7)$ .

Убывание на $(- 1, 7)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(7, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.1$ .

$f'' (7.1) = 2 {(7.1)}^{2} - 12 \cdot 7.1 - 14$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $7.1$ в степень $2$ .

$f'' (7.1) = 2 \cdot 50.41 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $50.41$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 12$ на $7.1$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 85.2 - 14$

Этап 8.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $85.2$ из $100.82$ .

$f'' (7.1) = 15.62 - 14$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $14$ из $15.62$ .

$f'' (7.1) = 1.62$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $1.62$ .

$1.62$

Этап 8.3

При $7.1$ вторая производная имеет вид $1.62$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(7, \infty)$ .

Возрастание в области $(7, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$ .

$(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$

Этап 10