Математический анализ Примеры

$\int \frac{2}{{(6 - x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{{(6 - x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 6 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 6 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{- 1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$- 2 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- 2 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $- 2 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- 2 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x$ .

$\frac{4}{{(6 - x)}^{\frac{1}{2}}} + C$