Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$