Математический анализ Примеры

$3^{4 - 11 x}$

Этап 1

Запишем $3^{4 - 11 x}$ в виде функции.

$f (x) = 3^{4 - 11 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3^{4 - 11 x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 4 - 11 x$ . Тогда $d u = - 11 d x$ , следовательно $- \frac{1}{11} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 - 11 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 - 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 11 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 11 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$0 - 11$

Этап 4.1.4

Вычтем $11$ из $0$ .

$- 11$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 11} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{11}) d u$

Этап 5.2

Объединим $3^{u}$ и $\frac{1}{11}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{11} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3^{u}}{11} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{11}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{11}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{11} \int 3^{u} d u)$

Этап 8

Интеграл $3^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ в виде $- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{\ln (3)}$ на $\frac{1}{11}$ .

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 11} \cdot 3^{u} + C$

Этап 9.2.2

Перенесем $11$ влево от $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $4 - 11 x$ .

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3^{4 - 11 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$