Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{0^{2} + 1}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 4}{0^{2} + 1}$

Этап 11.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$2 \cos (0) + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Этап 11.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 + \frac{- 4}{0 + 1}$

Этап 11.3.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$2 + \frac{- 4}{1}$

Этап 11.3.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$2 - 4$

Этап 11.4

Вычтем $4$ из $2$ .

$- 2$