Математический анализ Примеры

$e^{y} + x y = e$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (e^{y} + x y) = \frac{d}{d y} (e)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{y} + x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{y} + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$e^{y} + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{y} + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$e^{y} + x \cdot 1 + y x'$

Этап 2.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{y} + x + y x'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$y x' + x + e^{y}$

Этап 3

Поскольку $e$ является константой относительно $y$ , производная $e$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y x' + x + e^{y} = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y x' + e^{y} = - x$

Этап 5.1.2

Вычтем $e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$y x' = - x - e^{y}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $y x' = - x - e^{y}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $y x' = - x - e^{y}$ на $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{y} - \frac{e^{y}}{y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - \frac{e^{y}}{y}$