Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{4^{2 a x}} d x$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем знак экспоненты $4^{2 a x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(4^{2 a x})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(4^{2 a x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 4^{2 a x \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 1 \cdot 4^{- 2 a x} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $4^{- 2 a x}$ на $1$ .

$\int 4^{- 2 a x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - 2 a x$ . Тогда $d u = - 2 a d x$ , следовательно $\frac{1}{- 2 a} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - 2 a x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 2 a x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 a x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2 a$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 a x$ по $x$ равна $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 a \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 a$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 4^{u} \cdot \frac{1}{- 2 a} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 4^{u} \cdot (- \frac{1}{2 a}) d u$

Этап 3.2

Объединим $4^{u}$ и $\frac{1}{2 a}$ .

$\int - \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2 a}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2 a}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2 a} \int 4^{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $4^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{4^{u}}{\ln (4)}$ .

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$ в виде $- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{\ln (4)}$ на $\frac{1}{2 a}$ .

$- \frac{1}{\ln (4) (2 a)} \cdot 4^{u} + C$

Этап 7.2.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (4)$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \ln (4) a} \cdot 4^{u} + C$

Этап 7.2.3

Объединим $4^{u}$ и $\frac{1}{2 \ln (4) a}$ .

$- \frac{4^{u}}{2 \ln (4) a} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 a x$ .

$- \frac{4^{- 2 a x}}{2 \ln (4) a} + C$