Математический анализ Примеры

$\int \frac{9}{θ^{2}} \cos (\frac{9}{θ}) d θ$

Этап 1

Объединим $\frac{9}{θ^{2}}$ и $\cos (\frac{9}{θ})$ .

$\int \frac{9 \cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Этап 2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{\cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Этап 3

Пусть $u = \frac{9}{θ}$ . Тогда $d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ , следовательно $1 d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \frac{9}{θ}$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\frac{9}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{9}{θ}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $9$ является константой относительно $θ$ , производная $\frac{9}{θ}$ по $θ$ равна $9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Этап 3.1.3

Перепишем $\frac{1}{θ}$ в виде $θ^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 (- θ^{- 2})$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 θ^{- 2}$

Этап 3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{θ^{2}}$

Этап 3.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\frac{- 9}{θ^{2}}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{θ^{2}}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int - \frac{1}{9} \cos (u) d u$

Этап 4

Поскольку $- \frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$9 (- \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 (\frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \cos (u) d u$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \cos (u) d u$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \cos (u) d u$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \cos (u) d u$

Этап 5.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$- \sin (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{9}{θ}$ .

$- \sin (\frac{9}{θ}) + C$