Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sin (2 x)}{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (2 x)}{4})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\sin (2 x)}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (\cos (2 x))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \cdot 1$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{\cos (2 x)}{2}$ на $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{\cos (2 x)}{2}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 x)}{2}$