Математический анализ Примеры

$\sqrt{x + 2 y} = 5 y$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2 y}$ в виде ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 y)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2 y$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Этап 3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.10

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$ .

$(1 + 2 y') \frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.2

Умножим $1 + 2 y'$ на $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 y'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = 5 y'$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + 2 y' = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.4

Изменим порядок $1$ и $2 y'$ .

$2 y' + 1 = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' + 1 = 5 \cdot 2 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$2 y' + 1 = 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' + 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Этап 6.3.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Этап 6.3.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Этап 6.3.4

Разделим каждый член $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ на $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Разделим каждый член $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ на $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.2.4

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.4.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.4.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$