Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = π x^{2}$ . Тогда $d u = 2 \cdot x π d x$ , следовательно $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = π x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x^{2}$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$π (2 x)$

Этап 1.1.4

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π x$

Этап 1.1.5

Изменим порядок $2 π$ и $x$ .

$x (2 π)$

Этап 1.1.6

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$2 \cdot x π$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Этап 1.3.2

Умножим $π$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = π \cdot 1$

Этап 1.5.2

Умножим $π$ на $1$ .

$u_{upper} = π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2 π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2 π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

Этап 7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

Этап 7.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Этап 7.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{π}$

Десятичная форма:

$0.31830988 \dots$