Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{3 \tan (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{3 \tan (0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Этап 1.3.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.3.8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.3.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.3.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 + 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.10.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1) - 3 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.10.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.10.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.10.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.10.1.6

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.10.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.11

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 \tan (3 x) - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \tan (3 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.6

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \sec^{2} (3 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (1 - 2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.3

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.8

Вычтем $2$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.9

Объединим $\frac{1}{1 - 2 x}$ и $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.12

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.13

Умножим $- 4$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.7.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 (3 x^{2})}$

Этап 3.8.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Чтобы записать $- 9 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 3.9.1.2

Объединим $- 9 x^{2}$ и $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

Этап 3.9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8 - 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

Этап 3.9.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} (- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)) \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 9

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 13

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 15

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 16

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Этап 17

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 9 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 18

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 19

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 20

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 21

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 22

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 23

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}$

Этап 24

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Этап 25

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Этап 25.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Этап 25.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Этап 25.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Этап 25.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2.2

Умножим $- 9$ на $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2.5

Умножим $0$ на $1$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 1 \cdot 8}$

Этап 26.2.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 8}$

Этап 26.2.7

Вычтем $8$ из $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$(- 3 \cdot 0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$(0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3.3

Умножим $3$ на $0$ .

$(0 + 9 \sec^{2} (0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$(0 + 9 \cdot 1^{2}) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$(0 + 9 \cdot 1) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.3.6

Умножим $9$ на $1$ .

$(0 + 9) \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.4

Добавим $0$ и $9$ .

$9 \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 26.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \cdot (- \frac{1}{8})$

Этап 26.6

Умножим $9 (- \frac{1}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.6.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 (\frac{1}{8})$

Этап 26.6.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 9}{8}$

Этап 26.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{8}$