Математический анализ Примеры

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Этап 1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Этап 3.5

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 3.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ и $x$ .

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $y$ и $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 4.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$