Математический анализ Примеры

$2 x^{3} \cdot \sqrt[3]{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{3}} x^{3})]$

Этап 2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + 3}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}]$

Этап 2.4

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 3 \cdot 3}{3}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 9}{3}}]$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{10}{3}}]$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{10}{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{3}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{10}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{10 - 3}{3}})$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$2 (\frac{10}{3} x^{\frac{7}{3}})$

Этап 9

Объединим $\frac{10}{3}$ и $x^{\frac{7}{3}}$ .

$2 \frac{10 x^{\frac{7}{3}}}{3}$

Этап 10

Объединим $2$ и $\frac{10 x^{\frac{7}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{7}{3}})}{3}$

Этап 11

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20 x^{\frac{7}{3}}}{3}$