Математический анализ Примеры

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5^{x} + 5^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 5^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Этап 3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Этап 5.1.2

Изменим порядок $y'$ и $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Этап 5.1.3

Изменим порядок $5^{x} \ln (5)$ и $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Этап 5.2.1.2

Изменим порядок множителей в $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Этап 5.4

Добавим $- 5^{y} - 5^{x}$ и $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Этап 5.5

Вычтем $\ln (5)$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.3.1.3

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 5.6.3.1.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$