Математический анализ Примеры

$2 x \cdot e^{x}$

Этап 1

Запишем $2 x \cdot e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x \cdot e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x \cdot e^{x} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x \cdot e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 7

Упростим.

$2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $2 (x e^{x} - e^{x}) + C$