Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Этап 3

Развернем $(4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x^{3} x^{- 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{3 - 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int 4 x^{1} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.5

Упростим.

$\int 4 x - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x - 8 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int 4 x - 8 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 4 x - 8 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.9

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\int 4 x - 8 + 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.10

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\int 4 x - 8 + x^{- 2} d x$

Этап 3.11

Перенесем $- 8$ .

$\int 4 x + x^{- 2} - 8 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 8 x + C$

Этап 10

Упростим.

$2 x^{2} - \frac{1}{x} - 8 x + C$