Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x^{2} - 8 x + 3}$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x^{2} - 8 x + 3}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$4 \frac{0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 5.3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{1 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 6

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 8$ на $0$ .

$4 \frac{0}{1 + 0 + 3 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{0}{1 + 0 + 0}$

Этап 9.1.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$4 \frac{0}{1 + 0}$

Этап 9.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$4 (\frac{0}{1})$

Этап 9.2

Разделим $0$ на $1$ .

$4 \cdot 0$

Этап 9.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0$