Математический анализ Примеры

$\int 3 x \cos (x^{2}) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x \cos (x^{2}) d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} \sin (x^{2}) + C$