Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (3 x)}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (3 x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $x$ .

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{1}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{d}{d x} [x]$ на $1$ .

$\frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x)}{x^{2}}$