Математический анализ Примеры

$2 \sin (x - 2 π)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x - 2 π)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x - 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2 π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2 π$ .

$2 (\cos (x - 2 π) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2 π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$2 \cos (x - 2 π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + 0)$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) \cdot 1$

Этап 1.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cos (x - 2 π)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x - 2 π)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - 2 π)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x - 2 π))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 2 π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \cos (x - 2 π) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 \cos (x - 2 π) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 \cos (x - 2 π) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (x - 2 π)$ на $1$ .

$\cos (x - 2 π) = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (x - 2 π) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x - 2 π = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 π$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π + 4 π}{2}$

Этап 7.5.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - 2 π = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 2 π = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - 2 π = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $2 π$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π + 4 π}{2}$

Этап 9.2.5.2

Добавим $3 π$ и $4 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Этап 10

Решение уравнения $x - 2 π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы записать $- 2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 12.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $- 2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

Этап 12.3.2

Вычтем $4 π$ из $5 π$ .

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 12.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 13

$x = \frac{5 π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Чтобы записать $- 2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 14.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Объединим $- 2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 14.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 14.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

Этап 14.2.3.2

Вычтем $4 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 14.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \cdot 1$

Этап 14.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2$

Этап 14.2.6

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Чтобы записать $- 2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $- 2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

Этап 16.3.2

Вычтем $4 π$ из $7 π$ .

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.6

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 16.6.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 17

$x = \frac{7 π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Чтобы записать $- 2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 18.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Объединим $- 2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 18.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Этап 18.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

Этап 18.2.3.2

Вычтем $4 π$ из $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 18.2.4

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 18.2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.2.6

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Этап 18.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = - 2$

Этап 18.2.7

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \sin (x - 2 π)$ .

$(\frac{5 π}{2}, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{7 π}{2}, - 2)$ — локальный минимум

Этап 20