Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\sqrt{3 x} + 8}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$ в виде ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 (x))}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.9

Поскольку $3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.15.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.15.3

Объединим $3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.15.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 4.16

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 4.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Добавим $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.2

Умножим $\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.17.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$