Математический анализ Примеры

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Этап 1.2

Решим $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ на $\sec^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Этап 1.2.1.3.2

Разделим дроби.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Этап 1.2.1.3.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Этап 1.2.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 1.2.1.3.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 1.2.1.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.2.1.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 1.2.1.3.6

Разделим дроби.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Этап 1.2.1.3.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Этап 1.2.1.3.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Этап 1.2.1.3.9

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Этап 1.2.1.3.10

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.10.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Этап 1.2.1.3.10.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.10.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 1.2.1.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Этап 1.2.1.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.1.3.11

Разделим $8$ на $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Этап 1.2.2

Перепишем уравнение в виде $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Этап 1.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $8 \cos^{3} (x)$ в виде ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 1.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2 \cos (x)$ и $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Применим правило умножения к $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.6

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7

Приравняем $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.7.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.7.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.7.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.7.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.7.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.7.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.7.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.7.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.7.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ верно.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.10

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 1.2.10.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.10.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 1.2.10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 1.2.10.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 1.2.10.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.10.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Этап 1.2.11.2

Обратная функция косинуса от $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ не определена.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Этап 1.2.12.2

Обратная функция косинуса от $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ не определена.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Этап 1.2.13

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $\frac{π}{3} + 2 π n$ вместо $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ вместо $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.4.2

Избавимся от скобок.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.5

Перечислим все решения.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \frac{π}{3}$ и $\frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 3.3.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.6

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.8

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 3.9.1.2

Найдем значение $\tan (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.6

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.7.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.7.3

Перепишем это выражение.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.8

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.9

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Этап 3.9.3.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 3.9.3.11

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Этап 3.9.3.12

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Этап 3.9.3.12.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Этап 3.9.3.13

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Этап 3.9.3.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Этап 3.9.3.15

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$6 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$10.39230484 \dots$

Этап 5