Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Этап 2

Развернем ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(1 - x^{2})}^{2}$ в виде $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Этап 2.5

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Этап 2.6

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.7

Умножим $1$ на $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.11

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Этап 2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Этап 2.13

Добавим $2$ и $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Этап 2.14

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Этап 2.15

Изменим порядок $- 2 x^{2}$ и $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Этап 2.16

Перенесем $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ и $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5} + x$ в $1$ и в $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.9

Добавим $\frac{6}{5}$ и $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 10.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 10.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 10.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 10.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 10.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Этап 10.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Этап 10.2.3.14

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Этап 10.2.3.15

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Этап 10.2.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Этап 10.2.3.17

Чтобы записать $\frac{6}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 10.2.3.18

Чтобы записать $- \frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.19.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.19.2

Умножим $5$ на $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.19.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Этап 10.2.3.19.4

Умножим $3$ на $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Этап 10.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.21.1

Умножим $6$ на $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Этап 10.2.3.21.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Этап 10.2.3.21.3

Вычтем $10$ из $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Этап 10.2.3.22

Объединим $π$ и $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Этап 10.2.3.23

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8 π}{15}$

Десятичная форма:

$1.67551608 \dots$

Этап 12